Tugas Saya: Februari 2015

Himpunan (matematika)

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi
benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini
merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan
merupakan salah satu konsep penting dan mendasar
dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan
himpunan dan teori himpunan, sangatlah
berguna.

Irisan dari dua
himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn

Teori himpunan, yang baru
diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang
merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai
diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan
matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun
hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua
matematika diturunkan.

Biasanya, nama
himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B,
sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c,
z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi
bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini
menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.

Nama	Notasi	Contoh
Himpunan	Huruf besar
Anggota himpunan	Huruf kecil (jika merupakan huruf)
Kelas	Huruf tulisan tangan	$\mathcal{C}$

Himpunan-himpunan
bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan
sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.

Bilangan	Asli	Bulat	Rasional	Riil	Kompleks
Notasi	$\mathbb{N}$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Q}$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{C}$

Simbol-simbol khusus
yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Simbol	Arti
$\{ \}$ atau $\varnothing$	Himpunan kosong
$\cup$	Operasi gabungan dua himpunan
$\cap$	Operasi irisan dua himpunan
$\subseteq$ , $\subset$ , $\supseteq$ , $\supset$	Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
	Komplemen
$\mathcal{P}(A)$	Himpunan kuasa

Himpunan dapat
didefinisikan dengan dua cara, yaitu:

Enumerasi, yaitu
mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi
mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).

$B = \{ apel,\,jeruk,\,mangga,\,pisang\}$

$A = \{ a,\,b,\,c,\,...,\,y,\,z\}$

$\mathbb{N} = \{1,\,2,\,3,\,4,\,...\}$

Pembangun
himpunan, tidak dengan
mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi
oleh setiap anggota himpunan tersebut.

$O = \{ u\, |\, u \mbox{ adalah bilangan ganjil} \}$

$E = \{ x\, |\, x \in \mathbb{Z} \and (x \mbox{ mod } 2 = 0)\}$

$P = \{ p\, |\, p \mbox{ adalah orang yang pernah menjabat sebagai Presiden RI} \}$

Notasi pembangun
himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah
himpunan berikut:

$A = \{ x\, |\, x \notin A\}$

Himpunan A tidak
mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan
merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A
bisa mengandung anggota tersebut.

Himpunan kosong

Himpunan {apel,
jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga,
dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu
bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki
anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai himpunan kosong.

Himpunan kosong
tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:

$\varnothing = \{ \, \}$

Relasi antar himpunan

Himpunan bagian

Dari suatu himpunan,
misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat
himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.

{apel, jeruk}
{jeruk,
pisang}
{apel,
mangga, pisang}

Ketiga himpunan di
atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota
himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai himpunan bagian
dari A. Jadi dapat dirumuskan:

B adalah himpunan
bagian dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A.

$B \subseteq A \equiv \forall_x \, x \in B \rightarrow x \in A$

Kalimat di atas
tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka $\varnothing$ juga subhimpunan dari A.

Untuk sembarang
himpunan A,

$\varnothing \subseteq A$

Definisi di atas
juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A
sendiri.

Untuk sembarang
himpunan A,

$A \subseteq A$

Istilah subhimpunan
dari A biasanya berarti mencakup A sebagai himpunan bagiannya
sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian
dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan
biasanya jelas dari konteksnya.

Himpunan bagian
sejati dari A
menunjuk pada himpunan bagian dari A, tetapi tidak mencakup A
sendiri.

$B \subset A \equiv B \subseteq A \wedge B \neq A$

Superhimpunan

Kebalikan dari subhimpunan
adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup
himpunan tersebut.

$A \supseteq B \equiv B \subseteq A$

Kesamaan dua himpunan

Himpunan A
dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B,
dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.

$A = B \equiv \forall_x\; x \in A \leftrightarrow x \in B$

atau

$A = B \equiv A \subseteq B \wedge B \subseteq A$

Definisi di atas
sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B
adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B,
kemudian buktikan bahwa B adalah subhimpunan A.

Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa atau himpunan
pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari
seluruh himpunan bagian dari A. Notasinya adalah $\mathcal{P}(A)$ .

Jika A = {apel,
jeruk, mangga, pisang}, maka $\mathcal{P}(A)$ :

{ {
},

{apel},
{jeruk}, {mangga}, {pisang},

{apel,
jeruk}, {apel, mangga}, {apel, pisang},

{jeruk,
mangga}, {jeruk, pisang}, {mangga, pisang},

{apel,
jeruk, mangga}, {apel, jeruk, pisang}, {apel, mangga, pisang},
{jeruk, mangga, pisang},

{apel,
jeruk, mangga, pisang} }

Banyaknya anggota
yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya
anggota A.

$|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|}$

Kelas

Suatu himpunan
disebut sebagai kelas, atau keluarga himpunan jika himpunan
tersebut terdiri dari himpunan-himpunan. Himpunan $A = \{ \{a,\,b\},\, \{c,\,d,\,e,\,f\},\,\{a,\,c\},\,\{,\}\}$ adalah sebuah
keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan A, maka
himpunan kuasanya, $\mathcal{P}(A)$ adalah sebuah
keluarga himpunan.

Contoh berikut, $P = \{ \{a,\,b\}, c\}$ bukanlah sebuah
kelas, karena mengandung anggota c yang bukan himpunan.

Kardinalitas

Kardinalitas dari
sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya anggota yang
dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya anggota himpunan $\{apel, jeruk, mangga, pisang\}$ adalah 4. Himpunan $\{p, q, r, s\}$ juga memiliki
anggota sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain,
atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.

Dua buah himpunan A
dan B memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat fungsi
korespondensi satu-satu yang memetakan A pada B. Karena dengan
mudah kita membuat fungsi $\{(apel,\,p),\,(jeruk,\,q),\,(mangga,\,r),\,(pisang,\,s)\}$ yang memetakan
satu-satu dan kepada himpunan A ke B, maka kedua himpunan
tersebut memiliki kardinalitas yang sama.

Himpunan Denumerabel

Jika sebuah himpunan
ekivalen dengan himpunan $\mathbb{N}$ , yaitu himpunan bilangan asli, maka
himpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut
disebut sebagai kardinalitas $\mathfrak{a}$ .

Himpunan semua
bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memiliki
korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli,
yang dinyatakan oleh $2n\,$ .

$A = \{ 2,\, 4,\, 6,\, 8,\, ...\}$

Himpunan Berhingga

Jika sebuah himpunan
memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas $\mathfrak{a}$ , maka himpunan tersebut adalah himpunan
berhingga.

Himpunan Tercacah

Himpunan disebut
tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.

Himpunan Non-Denumerabel

Himpunan yang tidak
tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Contoh dari himpunan ini adalah
himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut
sebagai kardinalitas $\mathfrak{c}$ . Pembuktian bahwa bilangan riil tidak
denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal.

Himpunan bilangan
riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas $\mathfrak{c}$ , karena terdapat korespondensi satu-satu
dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah
satunya adalah $y=tan(\pi x - \frac{1}{2}\pi)$ .

Fungsi Karakteristik

Fungsi karakteristik
menunjukkan apakah sebuah anggota terdapat dalam sebuah himpunan atau tidak.

$\chi_{A}(x) = \begin{cases} 1,\quad\mbox{jika } x \in A \\ 0,\quad\mbox{jika } x \notin A \end{cases}$

Jika $A = \{apel,\,jeruk,\,mangga,\,pisang\}$ maka:

$\chi_A(apel) = 1$

$\chi_A(durian) = 0$

$\chi_A(utara) = 0$

$\chi_A(pisang) = 1$

$\chi_A(singa) = 0$

Terdapat
korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa $\mathcal{P}(S)$ dengan himpunan dari
semua fungsi karakteristik dari S. Hal ini mengakibatkan kita dapat
menuliskan himpunan sebagai barisan bilangan 0 dan 1, yang menyatakan ada
tidaknya sebuah anggota dalam himpunan tersebut.

Representasi Biner

Jika konteks
pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta S, maka setiap himpunan
bagian dari S bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut
juga bentuk biner. Bilangan biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap posisi bit
dikaitkan dengan masing-masing anggota S, sehingga nilai 1 menunjukkan
bahwa anggota tersebut ada, dan nilai 0 menunjukkan bahwa anggota tersebut
tidak ada. Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik
dari himpunan tersebut. Sebagai contoh, jika himpunan S = {a, b, c,
d, e, f, g}, A = {a, c, e, f}, dan B = {b, c, d, f},
maka:

Himpunan Representasi Biner

---------------------------- -------------------

a b c d
e f g

S = {
a, b, c, d, e, f, g } --> 1 1 1 1 1 1 1

A = {
a, c, e, f
} --> 1 0 1 0 1 1 0

B =
{ b, c, d, f
} --> 0 1 1 1 0 1 0

Cara menyatakan
himpunan seperti ini sangat menguntungkan untu

Kamis, 05 Februari 2015

himpunan